Berechnen der Entfernung eines Elektrons aus dem Proton eines Wasserstoffatoms

Wenn Sie suchen möchten, wo ein Elektron zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem Wasserstoffatom ist, sind, was Sie eigentlich tun, ist zu finden, wie weit das Elektron aus dem Proton ist. Sie können den Erwartungswert von finden r, das heißt, Sie seine Lage zu erzählen. Da die Wellenfunktion ist

den folgenden Ausdruck repräsentiert die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron in dem Raumelement gefunden werden d³r:

In sphärischen Koordinaten,

So können Sie schreiben

wie

Die Wahrscheinlichkeit, daß das Elektron in einer Kugelschale mit Radius ist r nach r + DR ist deshalb

Und weil

Diese Gleichung wird wie folgt vor:

Die vorstehenden Gleichung ist gleich

(Denken Sie daran, dass das Sternchen-Symbol

bedeutet das komplexe Konjugat. Ein komplexes Konjugat Flips das Vorzeichen der Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl verbindet.)

Sphärische Harmonische sind normalisiert, so dass dies nur wird

Okay, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron innerhalb der Kugelschale ist aus r nach r + DR. Also den Erwartungswert von r, was ist

welches ist

Dies ist, wo die Dinge komplizierter werden, weil R_nl(r) Beinhaltet die Laguerre Polynome. Aber nach einer Menge Mathematik, hier ist was Sie bekommen:

woher r₀ ist der Bohr-Radius:

Der Bohr-Radius ist etwa

so dass der Erwartungswert der Entfernung des Elektrons vom Proton

So zum Beispiel in der 1s Bundesland

der Erwartungswert von r entspricht

Und in der 4p Bundesland