Berechnen Sie die Wellenfunktion eines Wasserstoffatoms Mit dem Schr & # 246-dinger Gleichung
Wenn Ihr Quantenphysik Lehrer aufgefordert, die Wellenfunktion eines Wasserstoffatoms zu finden, können Sie mit der radialen Schr # 246-dinger Gleichung, R beginnennl(r), Die Ihnen sagt, dass
Die vorstehende Gleichung kommt von der Lösung des radialen Schr # 246-dinger Gleichung:
Die Lösung ist nur dann gut auf eine multiplikative Konstante, also fügen Sie eine solche Konstante, Anl (Was stellt sich heraus, auf der Hauptquantenzahl abhängen n und der Drehimpuls-Quantenzahl l), so was:
Sie finden Anl durch R Normalisierennl(r).
Versuchen Sie nun für R zu lösennl(r) Von nur flat-out die Mathematik zu tun. Versuchen Sie zum Beispiel R zu finden10(r). In diesem Fall, n = 1 und l = 0. Dann, weil N + l + 1 = n, Sie haben N = n - l - 1. Also N = 0 hier. Das macht Rnl(r) sieht aus wie das:
Und die Summierung in dieser Gleichung ist gleich
Und weil l = 0 ist, rl = 1, so
Daher können Sie auch schreiben
woher r0 Radius ist der Bohr. Für A10 und ein0, Sie normalisieren
1 ist, bedeutet die Integration von
über den gesamten Raum und Einstellung das Ergebnis 1.
und Integrieren der sphärischen Harmonischen, wie Y00, über einen vollständigen Bereich,
Deshalb gibt Ihnen 1., sind Sie mit dem radialen Teil links zu normalisieren:
Anstecken
in
gibt Ihnen
Sie können diese Art von Einheit mit der folgenden Beziehung zu lösen:
Mit dieser Beziehung kann die Gleichung
wird
Deswegen,
Dies ist ein ziemlich einfaches Ergebnis. Weil ein10 gerade dort ist das Ergebnis zu normalisieren, können Sie einen Satz10 bis 1 (dies wäre nicht der Fall sein, wenn
beteiligt mehrere Begriffe). Deswegen,
Das ist in Ordnung, und es macht R10(r), welches ist
Du weißt, dass
Und so
wird
Puh. In der Regel ist hier, was die Wellenfunktion
sieht aus wie für Wasserstoff:
woher
Laguerre-Polynom ist ein verallgemeinertes. Hier sind die ersten verallgemeinerten Laguerre Polynome:
