Wie Hinzufügen Vektoren Zusammen

Sie sind häufig gestellte Vektoren hinzufügen, wenn Physik Probleme zu lösen. So fügen Sie zwei Vektoren, legen Sie sie bis zum Schwanz Kopf und dann die Länge und Größe des Ergebnisses finden. Die Reihenfolge, in der die beiden Vektoren hinzufügen, spielt keine Rolle.

Zum Beispiel: Angenommen, Sie auf die große Physik-Konvention vorangegangen werden und haben gesagt, dass sie 20 Meilen nach Norden gehen und dann 20 Meilen östlich dorthin zu gelangen. In welchem ​​Winkel ist das Kongresszentrum von Ihrem aktuellen Standort, und wie weit weg ist es?

Sie können diese beiden Vektoren wie folgt schreiben (wo Osten entlang der positiv ist x Achse):

(0, 20)

(20, 0)

In diesem Fall müssen Sie diese beiden Vektoren zu addieren, und Sie können das tun nur durch Zugabe von ihrer x und y Komponenten getrennt:

Sind die Mathematik, und Ihr resultierenden Vektor (20, 20). Sie haben gerade eine Vektoraddition abgeschlossen. Aber die Frage stellt, für den Vektor in der Größe / Winkel ausgedrückt, nicht Begriffe koordinieren. Was also ist die Größe des Vektors, von Ihnen zu dem Physik-Konvention? Sie können die Situation in der folgenden Abbildung zu sehen, wo Sie xund y und wollen zu finden v.

Finden v ist nicht so schwer, weil man den Satz des Pythagoras verwenden können:

Stecken Sie die Zahlen zu erhalten

So ist die Konvention 28,3 Meilen entfernt. Was ist mit dem Winkel Theta? Wissen Sie

Theta = tan^-1(y/x) = Tan^-1(20/20) = 45 Grad

Und das ist es - Sie wissen jetzt, dass die Konvention 28,3 Meilen entfernt in einem Winkel von 45 Grad ist.

Beispielfrage

1. Fügen Sie die beiden Vektoren in der folgenden Abbildung. Man hat eine Größenordnung 5,0 und der Winkel 45 Grad, und der andere hat eine Stärke 7,0 und der Winkel 35 Grad.

   

   Die richtige Antwort ist Größe 12,0, Winkel 39 Grad.

1. Lösen Sie die beiden Vektoren in ihre Bestandteile. Für den ersten Vektor, gilt die Gleichung v_x = v cos theta das zu finden x koordinieren. Das ist 5,0 cos 45 ° = 3,5.

2. Tragen Sie die Gleichung v_y = v sin Theta zu finden die y Koordinate des ersten Vektors. Das ist 5,0 sin 45 Grad, oder 3.5. So ist der erste Vektor ist (3.5, 3.5) in Form zu koordinieren.

3. Für den zweiten Vektor, gilt die Gleichung v_x = v cos theta das zu finden x koordinieren. Das ist 7,0 cos 35 Grad = 5,7.

4. Tragen Sie die Gleichung v_y = v sin Theta zu finden die y Koordinate des zweiten Vektors. Das ist 7,0 sin 35 Grad = 4,0. So ist der zweite Vektor ist (5.7, 4.0) in Form zu koordinieren.

5. Um die beiden Vektoren, fügen Sie sie in Koordinatenform: (3.5, 3.5) + (5,7, 4,0) = (9.2, 7.5).

6. Konvertieren (9.2, 7.5) in Größe / Winkelform. Tragen Sie die Gleichung theta = tan^-1(y/x), Um den Winkel zu finden, das ist tan^-1(7,5 / 9,2) = tan^-1(0,82) = 39 Grad.

7. Tragen Sie die Gleichung

   

   die Größe zu finden, das ist

   

   Die Umstellung auf zwei signifikante Stellen gibt Ihnen 12.

Übungsfragen

1. Fügen Sie einen Vektor, dessen Größe 13,0 und Winkel ist 27 Grad zu einer, dessen Größe 11,0 und Winkel beträgt 45 Grad.

2. Fügen Sie einen Vektor, dessen Größe 16,0 und Winkel ist 56 Grad zu einer, dessen Größe 10,0 und Winkel beträgt 25 Grad.

3. Hinzufügen zwei Vektoren: Vector man hat eine Größe von 22,0 und Winkel von 19 Grad, und Vektor zwei hat eine Größe von 19,0 und einen Winkel von 48 Grad.

4. Fügen Sie einen Vektor, dessen Größe 10,0 und Winkel beträgt 257 Grad zu einer, dessen Größe 11,0 und Winkel beträgt 105 Grad.

Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:

1. Magnitude 23,7, Winkel 35 Grad

1. Für den ersten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 13,0 x cos 27 Grad = 11,6.

2. Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des ersten Vektors: 13,0 x sin 27 Grad oder 5,90. So ist der erste Vektor ist (11,6, 5,90) in Form zu koordinieren.

3. Für den zweiten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 11,0 x cos 45 ° = 7,78.

4. Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des zweiten Vektors: 11,0 x sin 45 ° = 7,78. So ist der zweite Vektor ist (7,78, 7,78) in Form zu koordinieren.

5. Fügen Sie die beiden Vektoren in Koordinatenform: (11.6, 5,90) + (7,78, 7,78) = (19,4, 13,7).

6. Konvertieren (19.4, 13.7) in Größe / Winkelform. Verwenden Sie die Gleichung theta = tan^-1(y/x), Um den Winkel zu finden: tan^-1(13,7 / 19,4) = tan^-1(0,71) = 35 Grad.

7. Tragen Sie die Gleichung

   

   die Größe zu finden, das ist

   

Magnitude 25.1, Winkel 44 Grad

Für den ersten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 16,0 x cos 56 Grad = 8,95.

Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des ersten Vektors: 16,0 x sin 56 Grad bzw. 13,3. So ist der erste Vektor ist (8,95, 13.3) in Form zu koordinieren.

Für den zweiten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 10,0 x cos 25 Grad = 9,06.

Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des zweiten Vektors: 10,0 x sin 25 Grad = 4,23. So ist der zweite Vektor ist (9,06, 4,23) in Form zu koordinieren.

Fügen Sie die beiden Vektoren in Koordinatenform: (8,95, 13,3) + (9,06, 4,23) = (18,0, 17,5).

Wandeln Sie den Vektor (18.0, 17.5) in Größe / Winkelform. Verwenden Sie die Gleichung theta = tan^-1(y/x), Um den Winkel zu finden: tan^-1(17,5 / 18,0) = tan^-1(0,97) = 44 Grad.

Tragen Sie die Gleichung

die Größe zu finden, das ist

Magnitude 39,7, Winkel 32 Grad

Für den ersten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 22,0 x cos 19 Grad = 20,8.

Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des ersten Vektors: 22,0 x sin 19 Grad oder 7,16. So ist der erste Vektor ist (20,8, 7,16) in Form zu koordinieren.

Für den zweiten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 19,0 x cos 48 Grad = 12,7.

Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des zweiten Vektors: 19,0 x sin 48 Grad = 14.1. So ist der zweite Vektor (12.7, 14.1) in Form zu koordinieren.

Fügen Sie die beiden Vektoren in Koordinatenform: (20.8, 7.16) + (12.7, 14.1) = (33,5, 21,3).

Wandeln Sie den Vektor (33.5, 21.3) in Größe / Winkelform. Verwenden Sie die Gleichung theta = tan^-1(y/x), Um den Winkel zu finden: tan^-1(21,3 / 33,5) = tan^-1(0,64) = 32 Grad.

Tragen Sie die Gleichung

die Größe zu finden, das ist

Magnitude 5.2, Winkel 170 Grad

1. Für den ersten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 10,0 x cos 257 ° = -2,25.

Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des ersten Vektors: 10,0 x sin 257 Grad oder -9,74. So ist der erste Vektor ist (-2,25, -9,74) in Form zu koordinieren.

Für den zweiten Vektor, verwenden Sie die Gleichung v_x = v cos thetato finden die x Koordinate: 11,0 x cos 105 Grad = -2,85.

Verwenden Sie die Gleichung v_y = v sin thetato finden die y Koordinate des zweiten Vektors: 11,0 x sin 105 Grad = 10,6. So ist der zweite Vektor ist (-2,85, 10.6) in Form zu koordinieren.

Fügen Sie die beiden Vektoren in Koordinatenform: (-2,25, -9,74) + (-2,85, 10,6) = (-5,10, 0,86).

Wandeln Sie den Vektor (-5,10, 0,86) in Größe / Winkelform. Verwenden Sie die Gleichung theta = tan^-1(y/x), Um den Winkel zu finden: tan^-1(0,86 / -5,10) = tan^-1(-0,17) = 170 Grad. weil x negativ ist, und y dieser Vektor positiv ist, muss im zweiten Quadranten sein.

Tragen Sie die Gleichung

die Größe zu finden, das ist