Wie das Volumen eines Objekts zu messen, indem Sie auf die Seite gedreht

Manchmal, wenn man das Volumen eines Objekts zu messen wollen, müssen Sie es auf die Seite zu drehen, so dass Sie die Scheibenmethode verwenden können. Diese Methode funktioniert am besten mit Feststoffen, die ähnliche Querschnitte aufweisen.

Hier ist der Plan:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitt des Feststoffs in Bezug auf repräsentiert x.

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, der eine bestimmte Integral zu bauen (in Bezug auf dx), Die das Volumen des Feststoffs darstellt.

3. Bewerten Sie dieses Integral.

   
   Mit Umkehrungen ein Problem bereit für die Scheibenmethode zu erhalten.

Angenommen, dass Sie das Volumen des festen hier gezeigten messen möchten. Die Basis dieses soliden (hellgrau) wird durch die Funktion an den Seiten begrenzt y = x⁴ zwischen den x-Achse an der Unterseite und y = 2 über der Spitze. Die Figur ist 3 Einheiten hoch, so dass der Querschnitt, wenn Sie parallel mit dem Schnitt x-Achse ist eine Reihe von gleichschenkligen Dreiecke, die jeweils mit einer Höhe von 3 und einer Basis, die die Breite über die Funktion des y = x⁴.

Die gute Nachricht ist, dass diese feste Querschnitte hat, die alle ähnliche Dreiecke sind, so dass die Scheibenmethode arbeiten. Leider, wie das Problem zur Zeit steht, würden Sie Ihre Scheiben senkrecht zu der machen müssen y-Achse. Aber um das Fleisch-Schneidemaschine Methode verwenden, müssen Sie Ihre Scheiben senkrecht zu der machen x-Achse.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie zuerst die feste über die Flip x-Achse, wie auf der rechten Seite der Figur gezeigt. Der einfachste Weg dies zu tun ist die Inverse der Funktion zu verwenden, y = x⁴. So finden Sie die inverse, Schalter x und y in der Gleichung und lösen für y:

Man beachte, dass die resultierende Gleichung

in diesem Fall ist nicht eine Funktion von x weil eine einzige x-Wert kann mehr als eine erzeugen y-Wert. Sie können jedoch diese Gleichung in Verbindung mit dem Scheibenmethode verwenden, um die Lautstärke zu finden, die Sie suchen.

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines zufälligen Querschnitt des festen darstellt.

   Der Querschnitt ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 3 und einer Basis

   

   verwenden, so dass die Formel für die Fläche eines Dreiecks:

   

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, der eine bestimmte Integral zu bauen, die das Volumen des Fest darstellt.

   

3. Lösen Sie das Integral.

   

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