Integrieren einer Funktion mit den Sinus-Fall
Wenn die Funktion enthält Sie die Integration einer Laufzeit von der Form (ein2 - bx2)n, ziehen Sie Ihre trig Substitution Dreieck für die Sinus Fall. Angenommen, dass Sie das folgende Integral ausgewertet werden soll:
Dies ist ein Sinus Fall, weil eine Konstante minus ein Vielfaches von x2 wird auf eine Potenz erhoben
Hier ist, wie Sie trigonometrische Substitution verwenden den Job zu behandeln:
Zeichnen Sie die trigonometrische Substitution Dreieck für den richtigen Fall.
Diese Abbildung zeigt Ihnen, wie Sie im Dreieck für den Sinus Fall zu füllen. Beachten Sie, dass der Rest auf das geht benachbart Seite des Dreiecks. Dann wird in den beiden anderen Seiten des Dreiecks zu füllen, verwenden Sie die Quadratwurzeln aus den beiden Begriffen innerhalb des radikalen - das heißt, 2 und x. Platz 2 auf der Hypotenuse und x auf der gegenüberliegenden Seite.
Sie können überprüfen, um sicherzustellen, dass diese Platzierung mit dem Satz des Pythagoras korrekt ist:
Identifizieren der getrennten Stücke des Integrals (einschließlich dx), Die Sie brauchen in Bezug auf die Theta auszudrücken.
In diesem Fall enthält die Funktion zwei getrennte Stücke, die enthalten x:
Express diese Stücke in Bezug auf die trigonometrischen Funktionen von Theta.
Dies ist die eigentliche Arbeit Substitution von trig, aber wenn Ihr Dreieck richtig eingerichtet ist, wird diese Arbeit sehr viel einfacher. In dem Sinus Fall alle trig-Funktionen sollten Sinus und Kosinus sein.
Um für den Rest Abschnitt als eine trigonometrische Funktion von Theta, zunächst beim Aufbau der Rest, der eine Fraktion mit
als Zähler und der Konstanten 2 als Nenner. Dann setzen Sie diese Fraktion in Höhe der entsprechenden trigonometrische Funktion:
Da der Zähler die benachbarte Seite des Dreiecks und der Nenner ist die Hypotenuse
Diese Fraktion ist gleich
Nun etwas Algebra wird der Rest allein auf einer Seite der Gleichung:
Als nächstes wollen Sie zum Ausdruck bringen dx als trigonometrische Funktion von Theta. Dazu bauen so, eine andere Fraktion, die mit der variablen x im Zähler und die Konstante 2 in den Nenner. Dann setzen Sie diese Fraktion gleich der richtige trigonometrische Funktion:
Dieses Mal ist der Zähler die gegenüberliegende Seite des Dreiecks und der Nenner ist die Hypotenuse
so dieser Anteil gleich
Jetzt lösen für x und dann zu unterscheiden:
Rewrite das Integral in Bezug auf die Theta und auswerten:
Um diese zwei Theta Bedingungen ändern in x Begriffe, wieder verwenden die folgende Gleichung:
Also hier ist eine Substitution, die Ihnen eine Antwort gibt:
Diese Antwort ist durchaus möglich, ja, technisch gesehen, können Sie sich hier stoppen. Doch die Stirn runzeln einige Professoren auf die Verschachtelung von trigonometrischen und inverse trigonometrische Funktionen, so werden sie eine vereinfachte Version von bevorzugen
Um dies zu finden, beginnen Sie mit dem Doppelwinkel Sinus Formel bewerben
Verwenden Sie nun Ihre trig Substitution Dreieck Werte zu ersetzen, für
bezüglich x:
Zum Abschluss ersetzen diesen Ausdruck für diese problematische zweite Term Ihre endgültige Antwort in einer vereinfachten Form zu erhalten:
