Wie man eine Trig Gleichung zu lösen, die Multiple Trigonometrie Funktionen

Einige Trigonometrie Gleichungen enthalten mehr als eine trigonometrische Funktion. Andere haben Mischungen aus mehreren Winkeln und einzelne Winkel mit der gleichen Variablen. Einige Beispiele für solche Gleichungen umfassen 3cos2 x = sin2 x, 2sec x = tan x + Kinderbett x, cos 2x + cos x + 1 = 0 und sin x cos x = 1/2.

Um diese Gleichungen in mehr verwaltbare Formen, so dass Sie Factoring oder eine andere Methode verwenden können, um sie zu lösen, können Sie Identitäten verwenden für einige oder alle Bedingungen zu ersetzen. Beispielsweise zu lösen 3cos2 x = sin2 x für alle Winkel zwischen 0 und 2Pi-, eine Pythagoreischen Identität gelten.

  1. Ersetzen Sie den Begriff der Sünde2 x mit seinem Äquivalent von Pythagoras Identität, sin2 x + cos2 x = 1 oder sin2 x = 1 - cos2 x.

    3cos2 x = 1 - cos2 x

  2. In cos2 x auf jeder Seite und zu vereinfachen, indem man.

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  3. Nehmen Sie die Quadratwurzel von jeder Seite.

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  4. Lösen für die Werte von x dass die Gleichung.

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Im nächsten Beispiel, beginnen Sie mit drei verschiedenen trigonometrischen Funktionen. Eine gute Taktik ist es, jede Funktion zu ersetzen, indem entweder ein Verhältnis Identität oder eine gegenseitige Identität verwendet wird. diese Identitäten schafft Fraktionen und Fraktionen erfordern gemeinsame Nenner.

By the way, ist mit Fraktionen in trigonometrischen Gleichungen gut, weil die Produkte, die, die Sie sind in der Regel dann ersetzen können in machen der Ausdruck viel einfachere Teile von Identitäten aus der Multiplikation und machen gleichwertige Brüche zur Folge haben. Lösen Sie 2sec x = tan x + Kinderbett x für alle möglichen Lösungen in Grad.

  1. Ersetzen Sie jeden Begriff mit seinen jeweiligen gegenseitigen oder Verhältnis Identität.

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  2. Rewrite der Fraktionen mit dem gemeinsamen Nenner sin x cos x.

    Multiplizieren jeden Term durch eine Fraktion, die gleich 1 ist, entweder mit Sinus- oder Cosinus sowohl im Zähler und Nenner.

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  3. Fügen Sie die beiden Fraktionen auf der rechten Seite. Dann die pythagoreische Identität verwenden, ersetzen die neuen Zähler mit 1.

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  4. Stellen Sie die Gleichung gleich 0 durch den richtigen Begriff von jeder Seite abgezogen wird.

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  5. Nun stellen Sie den Zähler gleich 0.

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    Wenn der Zähler gleich 0 ist, dann ist der gesamte Bruchteil gleich 0. Der Nenner sollte nicht gleich 0 zugelassen werden - eine solche Nummer nicht existiert.

  6. Lösen für die Werte von x dass die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

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Im nächsten Beispiel sind zwei verschiedenen Winkeln im Spiel. Ein Winkel ist doppelt so groß wie der andere, so können Sie verwenden, um eine Doppelwinkel Identität, die Bedingungen zu Funktionen von nur einem Winkel zu reduzieren. Der Trick ist, um die richtige Version des Kosinus Doppelwinkel Identität zu wählen.

Lösen cos 2x + cos x + 1 = 0 für x zwischen 0 und 2# 112-.

  1. Ersetzen cos 2x mit 2cos2 x - 1.

    2cos2x- 1 + cos x + 1 = 0

    Diese Version des Kosinus Doppelwinkel Identität ist bevorzugt, weil die andere trigonometrische Funktion in der Gleichung bereits eine Cosinus in ihm hat.

  2. Vereinfachen Sie die Gleichung. Dann cos ausklammern x.

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  3. Stellen Sie jeden Faktor, der gleich 0.

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  4. Lösen für die Werte von x dass die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

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Dieses letzte Beispiel kann trügerisch einfach sein. Der Haken dabei ist, dass Sie einen Doppelwinkel Identität im Voraus und machen einen schnellen Wechsel zu erkennen haben.

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  1. Verwenden Sie den Sinus Doppelwinkel Identität eines Ersatzes für den Ausdruck auf der linken Seite zu erstellen.

    Beginnend mit der Identität und jede Seite mit 1/2 multipliziert wird, erhalten Sie

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  2. Ersetzen Sie den Ausdruck auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung mit seinem Äquivalent aus dem Doppelwinkel Identität.

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  3. Multiplizieren jede Seite der Gleichung durch 2.

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  4. Umschreiben des Ausdrucks als eine inverse Funktion.

    2x = sin-1(1)

  5. Bestimmen Sie, welche Winkel innerhalb zwei Drehungen genügen den Ausdruck.

    2x = sin-1(1) = 90 # 176-, 450 # 176;

    Sie verwenden zwei Umdrehungen, weil der Koeffizient der x 2 ist.

  6. Teilen Sie jeden Begriff von 2.

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    Beachten Sie, dass die sich ergebenden Winkel zwischen 0 und 360 Grad liegen.

Sie können die Doppelwinkeltechnik aus dem obigen Beispiel für andere Mehrfachwinkel-Ausdrücke verallgemeinern.

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