Wie Zeitabhängigkeit zu verfassen und eine physikalische Gleichung für die dreidimensionale freies Teilchen Probleme Get
An einem gewissen Punkt, Ihre Quantenphysik Lehrer können Sie die Zeitabhängigkeit und eine physikalische Gleichung für einen dreidimensionalen freies Teilchen Problem hinzuzufügen. Sie können für die Zeitabhängigkeit der Lösung hinzufügen
wenn Sie sich daran erinnern, dass für ein freies Teilchen,
Diese Gleichung gibt Ihnen dieses Formulars
weil
die Gleichung verwandelt sich in
In der Tat, jetzt, dass die rechte Seite der Gleichung ist in Bezug auf den Radiusvektor r, Sie können die linke Seite Spiel machen:
Das ist die Lösung für das Schr # 246-dinger Gleichung, aber es ist unphysikalischen. Warum? diese Gleichung in drei Dimensionen zu normalisieren versuchen, zum Beispiel ergeben sich folgende, wobei A eine Konstante ist:
(Denken Sie daran, dass das Sternchen-Symbol
Somit können die Integral divergiert und Sie nicht normalisieren
wie hier geschrieben. Also, was tun Sie hier eine physikalische Teilchen zu bekommen?
Der Schlüssel zur Lösung dieses Problems ist zu erkennen, dass, wenn Sie eine Reihe von Lösungen für die Schr # 246-dinger Gleichung haben, dann ist jede lineare Kombination dieser Lösungen ist auch eine Lösung. Mit anderen Worten, fügen Sie verschiedene Wellenfunktionen zusammen, so dass Sie eine bekommen Wellenpaket, die eine Sammlung von Wellenfunktionen der Form
so dass
Die Wellenfunktionen stören konstruktiv an einem Standort.
Sie stören destruktiv (gehen Sie zu Null) an allen anderen Standorten.
Schauen Sie sich die zeitunabhängige Version:
Doch für ein freies Teilchen, die Energiezustände sind nicht in verschiedene bands- trennten sich die möglichen Energien sind kontinuierlich, so dass die Leute diese Summe als integraler schreiben:
Also, was ist
Es ist das dreidimensionale Analogon von
Das heißt, es ist die Amplitude jeder Komponente Wellenfunktion. Sie können finden
aus der Fourier-Transformation
so was:
In der Praxis Sie wählen
sich. Schauen Sie sich ein Beispiel, indem Sie das folgende Formular für
das ist für eine Gaußsche Wellenpaket (Anmerkung: Das exponentielle Teil ist, was diese eine Gaußsche Wellenform macht):
woher ein und A Konstanten sind. Sie können beginnen, durch die Normalisierung
zu bestimmen, was A ist. Hier ist, wie das funktioniert:
Okay. das Integral Performing gibt Ihnen
was bedeutet, daß die Wellenfunktion ist
Sie können diese Gleichung beurteilen Sie die folgenden zu geben, die für eine Gaußsche Wellenpaket sieht aus wie in 3D, was die zeitunabhängige Wellenfunktion ist:
