Wie man Graph, der eine Hyperbel

Denken Sie an eine Hyperbel als eine Mischung aus zwei Parabeln - jeder ein perfektes Spiegelbild der anderen, jede Öffnung voneinander entfernt. Die Eckpunkte dieser Parabeln sind in einem gegebenen Abstand voneinander entfernt, und sie öffnen sich entweder vertikal oder horizontal.

Die mathematische Definition von a Hyperbel ist die Menge aller Punkte, in denen der Unterschied in dem Abstand von zwei festen Punkten (die angerufene Brennpunkte) Konstant ist.

Es gibt zwei Arten von Hyperbeln: horizontal und vertikal.

Die Gleichung für eine Hyperbel ist horizontalen

Die Gleichung für eine Hyperbel ist vertikalen

Beachte das x und y Schalter Orten (wie auch die h und v zu nennen im Vergleich zu vertikal horizontal mit ihnen), im Vergleich zu Ellipsen, aber ein und b setzen bleiben. Also, für Hyperbeln, ein-zuerst quadriert immer kommen sollte, aber es ist nicht unbedingt größer. Genauer, ein wird immer unter dem positiven Begriff im Quadrat (entweder x-squared oder y-kariert). Grundsätzlich eine Hyperbel in Standardform zu erhalten, müssen Sie sicher sein, dass die positive squared Begriff erste ist.

Das Zentrum einer Hyperbel ist tatsächlich nicht auf der Kurve selbst, sondern genau zwischen den beiden Scheitelpunkten der Hyperbel. Immer Grundstück in der Mitte zuerst, und dann von der Mitte zählen, um die Ecken, Achsen und Asymptoten finden. Eine Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen. Die eine, die das Zentrum verläuft und den beiden Brennpunkten wird der angerufene Querachse- die eine, die senkrecht zu der Querachse die durch die Mitte ist, heißt das Konjugat Achse. Eine horizontale Hyperbel hat seine Querachse an y = v und ihre konjugierte Achse an x = h- eine vertikale Hyperbel hat seine Querachse an x = h und ihre konjugierte Achse an y = v.

Sie können die beiden Arten von Hyperbeln in der obigen Abbildung zu sehen: eine horizontale Hyperbel auf der linken Seite, und eine vertikale auf der rechten Seite.

Wenn die Hyperbel, die Sie grafisch darstellen wollen in Standardform ist nicht, dann müssen Sie den Platz zu füllen, um es in Standard-Form zu bekommen.

Zum Beispiel kann die Gleichung

ist eine vertikale Hyperbel. Das Zentrum (h, v) Ist (-1, 3).

(Was bedeutet, dass sie horizontal 3 Einheiten vom Zentrum sowohl nach links und nach rechts zählen). Der Abstand von der Mitte zum Rand des Rechtecks ​​markiert # 147-a # 148- bestimmt die Hälfte der Länge der Querachse und den Abstand zum Rand des Rechtecks ​​markiert # 147-b # 148- bestimmt die Konjugat-Achse. In einer Hyperbel, ein könnte größer als, kleiner als oder gleich b. Wenn Sie auszählen ein Einheiten, die von der Mitte entlang der Querachse, und b vom Zentrum Einheiten in beiden Richtungen entlang der Achse Konjugats, werden diese vier Punkte die Mittelpunkte der Seiten eines Rechtecks ​​sehr wichtig sein. Dieses Rechteck hat Seiten, die auf die parallel sind x- und y-Achse (in anderen Worten, nicht nur die vier Punkte verbinden, weil sie die Mittelpunkte der Seiten sind, nicht die Ecken des Rechtecks). Dieses Rechteck wird ein nützlicher Leitfaden sein, wenn es Zeit ist, die Hyperbel grafisch darzustellen.

Aber wie Sie in der obigen Abbildung sehen können, Hyperbeln enthalten andere wichtige Teile, die Sie berücksichtigen müssen. Zum Beispiel hat eine Hyperbel zwei Ecken. Es gibt zwei verschiedene Gleichungen - eine für horizontale und eine für die vertikale Hyperbeln:

• Eine horizontale Hyperbel hat Eckpunkte an (h # 177- ein, v).

• Eine vertikale Hyperbel hat Eckpunkte an (h, v # 177- ein).

Die Eckpunkte für das obige Beispiel sind bei (-1, 3 # 177- 4) oder (-1, 7) und (-1, -1).

Sie finden die Brennpunkte jeder Hyperbel unter Verwendung der Gleichung

woher F von der Mitte ist der Abstand zu den Brennpunkten entlang der Querachse, die gleiche Achse, dass die Scheitelpunkte an sind. Die Distanz F die gleiche Richtung bewegt wie in ein. Fortsetzung dieses Beispiels,

Um die Foki als Punkte in einer horizontalen Hyperbel nennen, verwenden Sie (h # 177- F, v) - Sie in einer vertikalen Hyperbel zu nennen, verwenden Sie (h, v # 177- F). Die Brennpunkte in dem Beispiel wäre (-1, 3 # 177- 5) oder (-1, 8) und (-1, -2). Beachten Sie, dass diese sie in der Hyperbel platziert.

Durch das Zentrum der Hyperbel die Asymptoten der Hyperbel laufen. Diese Asymptoten helfen, führen Sie Ihre Skizze der Kurven, da die Kurven können sie nicht an jedem beliebigen Punkt auf der Kurve überqueren.

Um eine Hyperbel grafisch darzustellen, folgen Sie diesen einfachen Schritten:

1. Markieren Sie die Mitte.

   Das Festhalten an dem Beispiel Hyperbel

   

   Sie finden, dass das Zentrum dieser Hyperbel ist (-1, 3). Denken Sie daran, die Zeichen der Zahlen in den Klammern zu wechseln, und auch daran denken, dass h den Klammern ist innen mit x, und v den Klammern ist innen mit y. In diesem Beispiel wird die Menge mit y-squared kommt zuerst, aber das bedeutet nicht, dass h und v Plätze tauschen. Das h und v immer treu bleiben, um ihre jeweiligen Variablen, x und y.

2. Vom Zentrum in Schritt 1 finden die Quer- und konjugierte Achsen.

   Gehen Sie nach oben und unten die Querachse einen Abstand von 4 (weil 4 unter ist y), Und dann gehen Sie nach rechts und links 3 (da 3 unter ist x). Aber keine Verbindung, die Punkte eine Ellipse zu erhalten! Bisher waren die Schritte der Herstellung einer Hyperbel Zeichnung genau das gleiche wie wenn Sie eine Ellipse zog, aber hier ist, wo die Dinge anders zu bekommen. Die Punkte, die Sie markiert als ein (Auf der Querachse) sind Ihre Eckpunkte.

3. Verwenden Sie diese Punkte ein Rechteck zu zeichnen, die die Form Ihres Hyperbel helfen wird, zu führen.

   Da Sie ging auf und ab 4 wird die Höhe des Rechtecks ​​8- going links und rechts 3 gibt Ihnen eine Breite von 6.

4. Zeichnen Sie diagonale Linien durch die Mitte und die Ecken des Rechtecks, die über das Rechteck erstrecken.

   Dies gibt Ihnen zwei Linien, die Ihre Asymptoten sein wird.

5. Skizzieren Sie die Kurven.

   

   Zeichnen Sie die Kurven, an jedem Scheitelpunkt beginnend getrennt, die die Asymptoten die weiter weg umarmen von den Eckpunkten der Kurve bekommt.

   Die Grafik nähert sich die Asymptoten aber nie berührt sie tatsächlich. Die obige Abbildung zeigt das fertige Hyperbel.