Control System Fallstudie: Cruise Control

Diese Fallstudie beginnt mit Modellbau, von der Grundlagenphysik starten. Besondere Berücksichtigung finden dabei gegebenen Windwiderstand zu integrieren und sind als System Störung,

das Einsetzen eines Hügels. Die Gesetze der Bewegung sagen, dass eine Fahrzeugmasse gegeben m und Motor zugeführte Kraft cw(t), woher c ist Proportionalitätskonstante und 0 # 8804- w (t) # 8804- 1 stellt die Motordrossel, F_Knirps(t) = mv(t) = cw(t), t # 8805- 0.

Luftwiderstand proportional zu der Geschwindigkeit zum Quadrat mal konstanten # 961-, erzeugt drag am Fahrzeug. Zusätzlich, wenn das Fahrzeug einen Hügel (die Systemstörung in der Einleitung beschrieben) antrifft Winkel # 952-, Schwerkraft erzeugt eine zweite Gegenkraft, mg Sünde(# 952-), woher G die Gravitationskonstante von 9,8 m / s². Ein kleiner Winkel wird in diesem Fall angenommen wird, so gilt folgendes.

Die Bewegungsgleichung ist jetzt

wobei die letzte Zeile wird durch die Masse geteilt durch m. Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung in Bezug auf die Fahrzeuggeschwindigkeit v(t) Wegen des Auftretens von v²(t), Der Luftwiderstand term.

Beachten Sie die nichtlineare Differentialgleichung

Obwohl die nichtlineare Differentialgleichung nicht in einer geeigneten Form zur Gestaltung einer Tempomat ist, gibt es einige interessante Beobachtungen, die gemacht werden können. Dieses Verständnis hilft auch mit dem Linearisierungsprozess.

Wenn sich das Fahrzeug auf der flachen (# 952- 0 =) und bei der maximalen Drosselklappenwert von 1,0, der nichtlineare Differentialgleichung reduziert sich auf

Die maximale Geschwindigkeit wird erreicht, wie t groß wird. Mit maximaler Geschwindigkeit muss die Beschleunigung Null sein, so

Die Gleichung vereinfacht weiter

Versuchen Sie nicht dieses zu Hause mit Ihrem Auto!

Eine zweite Beobachtung ist, dass die Fahrzeugstände, wenn für einige kritische Winkel auf einen Hügel bei Vollgas Klettern # 952-_s. Sie müssen sich zuerst, dass Stall zu wissen, bedeutet, dass die Fahrzeuggeschwindigkeit gleich Null ist und die Beschleunigung gleich Null ist. Aus der vollständigen nichtlinearen Differentialgleichung

Sie lösen jetzt # 952-_s als Sünde^-1[c/ (mg)]. Beachten Sie diese Analyse geht davon aus, dass das Fahrzeug in einem festen Gang bleibt. In Ihrem eigenen Auto fahren Herunterschalten Sie wahrscheinlich auf den niedrigsten Gang ein Abwürgen zu vermeiden.

Die dritte Beobachtung ist die Lösung für die nicht-lineare Differentialgleichung bei maximaler Drosselklappen und # 952- = 0. Sie zunächst die Konstante definieren

die Differentialgleichung mit diesem T eingesetztem wird:

Die exakte Lösung für dieses vereinfachte Form ist v(t) = v_maxtanh (t / T). Sie können überprüfen, dies eine gültige Lösung ist es zurück in die Differentialgleichung durch Einsetzen und sehen, dass die Gleichung erfüllt ist. Diese Lösung gibt Ihnen das Geschwindigkeitsprofil über die Zeit mit dem Gaspedal bis zum Boden gehalten.

Hinweis: Dies gilt nicht ganz zu einem echten Auto, weil das Modell nehmen nicht berücksichtigt Getriebe mit einem Getriebeschalt. Durch Auftragen v(t) für ein gegebenes v_max und T Sie können etwa sehen, wie lange es dauert, um einen bestimmten Reisegeschwindigkeit, beispielsweise 0 bis 60 Meilen pro Stunde in 10 Sekunden zu beschleunigen.

Linearisieren zu einer Nennreisegeschwindigkeit

Um linearisieren die Differentialgleichung für eine Nenngeschwindigkeit von cruise v₀ lt; v_max und entsprechende Drosseleinstellung von 0 lt; w₀ lt; 1, verwenden Sie einen Ein-Begriff Taylor-Reihe Erweiterung. In Kalkül, erfahren Sie, dass jede Funktion, sagen y = f(x) Können in der Nähe von dem Punkt angenähert werden x₀ Verwendung f(x₀) Und seine Derivate ausgewertet an x₀. Ein ein Begriff Annäherung ist linear in x - x₀, das ist

Ob f(x) = x² die Erweiterung wird

weil f '(x) = 2x ausgewertet bei x₀ 2x₀.

Für das Problem auf der Hand, möchten Sie in Bezug auf die Sollgeschwindigkeit zu erweitern v₀ und Drosseleinstellung w₀. Machen Substitutionen in die ursprüngliche Differentialgleichung wie folgt:

stellen die Abweichung der Geschwindigkeit und Gaseinstellungen weg von den Sollwerten. Das sind die neuen Modellierungsparameter. In der ursprünglichen Differentialgleichung:

wo eine Stufenfunktion ist auf dem Hügel Schwere Begriff enthalten den Hügel Beginn zu modellieren zu t = 0. Hinweis in der letzten Zeile

Null ist, weil dies die nominal konstanten Betriebspunkt, der dem Drosseleinstellung entspricht auch w₀. Wenn Sie die Zeitkonstante definieren

die nun linearisierte Differentialgleichung