Wie ein Teilchen der Lage zu schätzen, indem Anwenden von Schr & # 246-dinger-Gleichung zu einem Wellenpaket

Wenn Sie eine Reihe von Lösungen für die Schr # 246-dinger Gleichung haben, jede lineare Kombination dieser Lösungen ist auch eine Lösung. Das ist also der Schlüssel zu einem physikalischen Teilchen zu bekommen: Sie verschiedene Wellenfunktionen zusammen hinzufügen, so dass Sie ein Wellenpaket zu erhalten, die eine Sammlung von Wellenfunktionen von der Form

so dass die Wellenfunktionen an einem Ort konstruktiv stören und an allen anderen Standorten (auf Null) destruktiv interferieren:

Dies wird üblicherweise als kontinuierlicher integraler geschrieben:

Was ist

Es ist die Amplitude jeder Komponente Wellenfunktion, und Sie können finden

aus der Fourier Transformation der Gleichung:

weil

Sie können auch die Wellenpaket Gleichungen wie folgt schreiben, in Bezug auf die p, nicht k:

Nun, man kann sich nur fragen, was hier los ist. Es sieht aus wie

Das sieht ziemlich kreisförmig.

Die Antwort ist, dass die beiden vorherigen Gleichungen sind keine Definitionen von

sie sind Gleichungen, nur die beiden im Zusammenhang. Du bist frei, Ihre eigene Wellenpaket zu wählen, um sich zu gestalten - zum Beispiel, können Sie die Form angeben

Hier ist ein Beispiel, in dem Sie Beton bekommen, eine tatsächliche Wellenpaket Form auswählen. Wählen Sie eine sogenannte Gaußsche Wellenpaket, mit dem Sie in der Abbildung sehen können - lokalisiert an einem Ort, nahe Null in den anderen.

die Amplitude

Sie können für diese Wellenpaket ist

Sie beginnen mit der Normalisierung

zu bestimmen, was A ist. Hier ist, wie das funktioniert:

Setzt man in

gibt Ihnen diese Gleichung:

das Integral tun (das bedeutet, es sucht in Mathe Tabellen oben) gibt Ihnen die

Also hier ist Ihre Wellenfunktion:

Dieses kleine Juwel eines integralen ausgewertet werden Sie die folgende geben:

Das ist also die Wellenfunktion für diese Gaußsche Wellenpaket (Hinweis: Die exp [-x²/ein²] Ist das Gauß-Teil, der das Wellenpaket die unverwechselbare Form gibt, die Sie in der Abbildung zu sehen) - und es ist bereits normalisiert.

Jetzt können Sie diese Wellenpaket Funktion verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass die Partikel in sein wird, sagen, die Region

Die Wahrscheinlichkeit ist,

In diesem Fall ist das integrale

Und das funktioniert sein

So ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen in der Region sein,

Cool!