Wie eine Stichprobenverteilung zu einem Standard normalverteilte Zufallsvariable Konvertieren der zentrale Grenzwertsatz verwenden
Sie können die zentralen Grenzwertsatz verwenden, um eine Stichprobenverteilung zu einem Standard-normalverteilte Zufallsvariable zu konvertieren. Basierend auf dem zentralen Grenzwertsatz, wenn man Proben aus einer Population ziehen, die zu 30 größer oder gleich ist, dann bedeuten die Probe eine Zufallsvariable normal verteilt ist. Um zu bestimmen, Wahrscheinlichkeiten für den Stichprobenmittelwert
die Standard-Normal Tabellen erfordert, dass Sie zu konvertieren
zu einem Standard-normalverteilte Zufallsvariable.
Die Standardnormalverteilung ist der Spezialfall, wo die mittlere
gleich 0, und die Standardabweichung
1 entspricht.
Für jede normalverteilte Zufallsvariable X mit einem mittleren
und eine Standardabweichung
Sie finden die entsprechenden Standard normalen Zufallsvariable (Z) Mit der folgenden Gleichung:
Für die Verteilung des Stichproben
die entsprechende Gleichung ist
Als ein Beispiel, sagen, dass es 10.000 Aktien gehandelt jeden Tag auf einer regionalen Börse sind. Es ist aus historischer Erfahrung ist bekannt, dass die Erträge auf diese Aktien einen Mittelwert von 10 Prozent pro Jahr, und einer Standardabweichung von 20 Prozent pro Jahr.
Ein Anleger wählt für sein Portfolio eine zufällige Auswahl von 100 dieser Aktien zu kaufen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die mittlere Rendite unter diesen 100 Aktien mehr als 8 Prozent?
Das Portfolio des Anlegers können sich auf der regionalen Börse handeln aus der Bevölkerung von Aktien gewählt als eine repräsentative Auswahl von Wertpapieren gedacht werden. Der erste Schritt, diese Wahrscheinlichkeit zu erhalten ist, die Momente der Stichprobenverteilung zu berechnen.
Berechnen Sie den Mittelwert:
Der Mittelwert der Stichprobenverteilung ist gleich der Bevölkerung bedeuten.
Bestimmen Sie den Standardfehler: Diese Berechnung ist ein wenig komplizierter, weil die Standardabweichung von der Größe der Probe im Verhältnis zur Größe der Bevölkerung ab. In diesem Fall Größe der Probe (n) 100, während die Populationsgröße (N) Ist 10.000. So haben Sie zuerst die Stichprobengröße in Bezug auf die Bevölkerungsgröße zu berechnen, etwa so:
Da 1 Prozent weniger als 5 Prozent ist, verwenden Sie nicht die endliche Bevölkerung Korrekturfaktor den Standardfehler zu berechnen. Man beachte, dass der Wert der finite Bevölkerungskorrekturfaktor in diesem Fall ist:
Da dieser Wert ist so nahe an 1, hätte die endliche Bevölkerung Korrekturfaktor in diesem Fall mit wenig oder gar keinen Einfluss auf die resultierenden Wahrscheinlichkeiten.
Und weil die finite Bevölkerungskorrekturfaktor in diesem Fall nicht erforderlich ist, wird der Standardfehler wie folgt berechnet:
Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass die Probe Mittelwert von mehr als 8 Prozent ist, müssen Sie nun die Probe umwandeln in eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable bedeuten die folgende Gleichung:
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Probe Mittelwert größer als 8 Prozent, Sie die vorherige Formel gelten, wie folgt:
weil
Diese Werte werden in den vorhergehenden Ausdruck substituiert wie folgt:
Sie können mit den Eigenschaften der Standardnormalverteilung zusammen mit einer Standard-Normal Tabelle wie diese diese Wahrscheinlichkeit berechnen.
| Z | 0.00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 |
|---|---|---|---|---|
| -1.3 | 0,0968 | 0,0951 | 0,0934 | 0,0918 |
| -1.2 | 0,1151 | 0,1131 | 0,1112 | 0,1093 |
| -1.1 | 0,1357 | 0,1335 | 0,1314 | 0,1292 |
| -1.0 | 0,1587 | 0,1562 | 0,1539 | 0,1515 |
Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Standard-Normalzufallsvariable (benannt Z) ist Gleich oder kleiner als ein bestimmter Wert. Zum Beispiel können Sie die Wahrscheinlichkeit schreiben, dass
(Eine Standardabweichung unterhalb des Mittelwerts), wie
Sie finden die Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle mit den folgenden Schritten:
Suchen Sie die erste Ziffer vor und nach dem Komma (-1,0) in der ersten (Z) -Säule.
Finden Sie die zweite Stelle nach dem Komma (0,00) in der zweiten (0,00) Spalte.
Sehen Sie, wo die Zeile und Spalte schneiden die Wahrscheinlichkeit zu finden:
Weil Sie eigentlich auf der Suche für die Wahrscheinlichkeit, dass Z größer als oder gleich -1 ist, wird ein weiterer Schritt erforderlich.
Aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung, die Wahrscheinlichkeit, dass Z größer als oder gleich einem negativen Wert gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass Z kleiner oder gleich dem gleichen negativen Wert an.
Beispielsweise,
Das ist weil
sind komplementär Veranstaltungen. Das bedeutet, dass Z entweder größer als oder gleich -2 oder weniger als oder gleich -2. Deswegen,
Dies gilt, da das Auftreten eines dieser Ereignisse ist sicher, und die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses 1 ist.
Nach algebraisch diese Gleichung Umschreiben, beenden Sie mit folgendem Ergebnis nach oben:
Für das Portfolio Beispiel
Das Ergebnis zeigt, dass es eine 84,13-prozentige Chance, dass das Portfolio des Anlegers ein Mittelwert von mehr als 8 Prozent zurück haben.